מהו דגם הסטון?
מהו דגם הסטון? מודל הסטון, על שמו של סטיב הסטון, הוא סוג של מודל תנודתיות סטוכסטית המשמש לתמחרת אופציות אירופאיות.
מהו דגם הסטון? – נקודות מרכזיות
הבנת מודל הסטון
מודל הסטון, שפותח על ידי פרופסור משותף למימון סטיבן הסטון ב-1993, הוא מודל תמחור אופציות שניתן להשתמש בו לתמחור אופציות בניירות ערך שונים. ניתן להשוות אותו למודל תמחור האופציות הפופולרי יותר של Black-Scholes.
בסך הכל, מודלים לתמחור אופציות משמשים משקיעים מתקדמים כדי להעריך ולאמוד את המחיר של אופציה מסוימת, הנסחרת על נייר ערך בסיס בשוק הפיננסי. לאופציות, בדיוק כמו האבטחה הבסיסית שלהן, יהיו מחירים המשתנים לאורך יום המסחר. מודלים של תמחור אופציות מבקשים לנתח ולשלב את המשתנים הגורמים לתנודות במחירי האופציות על מנת לזהות את מחיר האופציה הטוב ביותר להשקעה.
כמודל תנודתיות אסטוכסטית, מודל הסטון משתמש בשיטות סטטיסטיות כדי לחשב ולחזות תמחור אופציות מתוך הנחה שהתנודתיות היא שרירותית. ההנחה שהתנודתיות היא שרירותית, ולא קבועה, היא גורם המפתח שהופך את מודלי התנודתיות הסטוכסטיים לייחודיים. סוגים אחרים של מודלים של תנודתיות סטוכסטית כוללים את מודל SABR, מודל Chen ומודל GARCH.
הבדלים מרכזיים
למודל הסטון יש מאפיינים המבדילים אותו ממודלים אחרים של תנודתיות סטוכסטית, כלומר:
דגם הסטון הוא גם סוג של מודל חיוך נדיפות. "חיוך" מתייחס לחיוך התנודתיות, ייצוג גרפי של מספר אפשרויות עם תאריכי תפוגה זהים המציגים תנודתיות הולכת וגוברת ככל שהאופציות הופכות ליותר-בכסף (ITM) או מחוץ לכסף (OTM). שמו של דגם החיוך נובע מהצורה הקעורה של הגרף, המזכירה חיוך.
מתודולוגיית מודל הסטון
מודל הסטון הוא פתרון סגור לאופציות תמחור המבקש להתגבר על חלק מהחסרונות המוצגים במודל תמחור האופציות של Black-Scholes. מודל הסטון הוא כלי למשקיעים מתקדמים.
החישוב הוא כדלקמן:
dSt=rStdt+VtStdW1tdVt=k(θ−Vt)dt+σVtdW2twhere:St=asset price at timetr=free-risk rente – ריבית תאורטית על נכס שנושא אין riskVt=volatility of the Vatility (standand price of the assess) θ =לטווח ארוך מחיר variancek=שיעור החזרה toθdt=indefinitely small time positive incrementW1t=תנועות בראון של הנכס priceW2t=תנועה בראון של שונות מחיר של הנכס\begin{aligned} \rs_td \rs_td{aligned} \rs_td +dS_td {1ט} \\ &dV_t = k ( \theta – V_t ) dt+ \sigma \sqrt{ V_t } dW_{2t} \\ &\textbf{כאשר:} \\ &S_t = \text{מחיר הנכס בזמן } t \\ &r = \ טקסט{ריבית נטולת סיכון — שיעור תיאורטי על} \\ &\text{נכס ללא סיכון} \\ &\sqrt{ V_t } = \text{תנודתיות (סטיית תקן) של מחיר הנכס} \\ & \sigma = \text{תנודתיות של } \sqrt{ V_t } \\ &\theta = \text{שונות מחיר לטווח ארוך} \\ &k = \text{שיעור החזרה ל-} \theta \\ &dt = \text {תוספת זמן חיובית קטנה ללא הגבלת זמן} \\ &W_{1t} = \text{תנועה בראונית של מחיר הנכס} \\ &W_{2t} = \text{תנועה בראונית של שונות המחיר של הנכס} \\ \end{aligned} dSt=rStdt+VtStdW1tdVt=k(θ−Vt)dt+σVtdW2tכאשר:St=מחיר נכס ב timetr=ריבית ללא סיכון – שיעור תיאורטי ב- ANASSET לא נושאת סיכון VT = תנודתיות (סטיית תקן) של מחיר הנכס = תנודתיות של thevt θ = מחיר לטווח הארוך וריאנסק = שיעור היפוך toθdt = זמן חיובי קטן ללא הגבלת זמן צמיח תנועה בראונית של שונות מחיר הנכס
הסטון מודל נגד בלאק-סקולס
מודל Black-Scholes לתמחור אופציות הוצג בשנות ה-70 ושימש כאחד המודלים הראשונים לסיוע למשקיעים לגזור מחיר הקשור לאופציה על אבטחה. באופן כללי, הוא עזר לקדם השקעות באופציות שכן יצר מודל לניתוח מחירי האופציות על ניירות ערך שונים.
גם מודל Black-Scholes וגם הסטון מבוססים על חישובים בסיסיים שניתן לקודד ולתכנת באמצעות אקסל מתקדמות או מערכות כמותיות אחרות. נוסחת אופציית הרכש של Black-Scholes מחושבת על ידי הכפלת מחיר המניה בפונקציית התפלגות ההסתברות הרגילה המצטברת.
לאחר מכן, הערך הנוכחי הנקי (NPV) של מחיר המימוש כפול בהתפלגות הנורמלית הסטנדרטית המצטברת מופחת מהערך המתקבל של החישוב הקודם.
בסימון מתמטי,
שיחה = S * N(d1) – Ke(-r * T) * N(d2)
לעומת זאת, ניתן לחשב את הערך של אופציית מכר באמצעות הנוסחה:
Put = Ke(-r * T) * N(-d2)– S * N(-d1)
בשתי הנוסחאות, S הוא מחיר המניה, K הוא מחיר המימוש, r הוא שיעור הריבית חסרת הסיכון, ו-T הוא הזמן לפדיון.
הנוסחה עבור d1is:
(ln(S/K) + (r + (תנודתיות שנתית)2/2) * T)/(תנודתיות שנתית * (T0.5))
הנוסחה עבור d2is:
d1 – (תנודתיות שנתית) * (T0.5)
נסיבות ייחודיות
מודל הסטון ראוי לציון מכיוון שהוא מבקש לספק את אחת המגבלות העיקריות של מודל Black-Scholes המחזיק בתנודתיות קבועה. השימוש במשתנים סטוכסטיים במודל הסטון מספק את התפיסה שתנודתיות אינה קבועה אלא שרירותית.
גם מודל Black-Scholes הבסיסי וגם מודל הסטון עדיין מספקים הערכות תמחור אופציות עבור אופציה אירופאית, שהיא אופציה שניתן לממש רק בתאריך הפקיעה שלה. מחקרים ומודלים שונים נחקרו לתמחור אופציות אמריקאיות הן באמצעות Black-Scholes והן באמצעות מודל הסטון. שינויים אלו מספקים אומדנים לאופציות הניתנות למימוש בכל תאריך לקראת תאריך התפוגה, כפי שקורה לגבי אופציות אמריקאיות.
