מהו מקדם המתאם?
מהו מקדם המתאם? מקדם המתאם הוא מדד סטטיסטי לעוצמת הקשר הליניארי בין שני משתנים. ערכיו יכולים לנוע בין -1 ל-1. מקדם מתאם של -1 מתאר מתאם שלילי מושלם, או הפוך, כאשר ערכים בסדרה אחת עולים כשאלה שבאחרת יורדים, ולהיפך. מקדם 1 מראה מתאם חיובי מושלם, או קשר ישיר. מקדם מתאם של 0 אומר שאין קשר ליניארי. מקדמי מתאם משמשים במדע ובפיננסים כדי להעריך את מידת הקשר בין שני משתנים, גורמים או מערכי נתונים. לדוגמה, מאחר שמחירי הנפט הגבוהים נוחים ליצרני הנפט, ניתן להניח שהמתאם בין מחירי הנפט לתשואות קדימה על מניות הנפט הוא חיובי מאוד. חישוב מקדם המתאם עבור משתנים אלו על סמך נתוני שוק מגלה מתאם מתון ולא עקבי לאורך תקופות ארוכות.
מהו מקדם המתאם? – מקדמי מתאם משמשים במדע ובפיננסים כדי להעריך את מידת הקשר בין שני משתנים, גורמים או מערכי נתונים. לדוגמה, מאחר שמחירי הנפט הגבוהים נוחים ליצרני הנפט, ניתן להניח שהמתאם בין מחירי הנפט לתשואות קדימה על מניות הנפט הוא חיובי מאוד. חישוב מקדם המתאם עבור משתנים אלו על סמך נתוני שוק מגלה מתאם מתון ולא עקבי לאורך תקופות ארוכות.
מהו מקדם המתאם? – נקודות מרכזיות
הבנת מקדם המתאם
סוגים שונים של מקדמי מתאם משמשים להערכת מתאם על סמך המאפיינים של הנתונים המושוואים. הנפוץ ביותר הוא מקדם פירסון, או Pearson'sr, שמודד את החוזק והכיוון של קשר ליניארי בין שני משתנים. מקדם פירסון אינו יכול להעריך קשרים לא ליניאריים בין משתנים ואינו יכול להבדיל בין משתנים תלויים ובלתי תלויים.
מקדם פירסון משתמש בנוסחת סטטיסטיקה מתמטית כדי למדוד עד כמה נקודות הנתונים המשלבות את שני המשתנים (עם ערכי סדרת נתונים אחת משורטטים על ציר ה-x והערכים המקבילים של הסדרה האחרת על ציר ה-y) מקרובים את הקו של הכי מתאים. ניתן לקבוע את קו ההתאמה הטובה ביותר באמצעות ניתוח רגרסיה.
ככל שהמקדם רחוק יותר מאפס, בין אם הוא חיובי או שלילי, כך ההתאמה טובה יותר והמתאם גדול יותר. הערכים של -1 (עבור מתאם שלילי) ו-1 (עבור מתאם חיובי) מתארים התאמה מושלמת שבה כל נקודות הנתונים מתיישרות בקו ישר, מה שמצביע על מתאם מושלם של המשתנים. במילים אחרות, הקשר הוא כל כך צפוי שניתן לקבוע את הערך של משתנה אחד מהערך התואם של השני. ככל שמקדם המתאם קרוב יותר לאפס, המתאם חלש יותר, עד שבאפס לא קיים קשר ליניארי כלל.
הערכות של חוזק המתאם המבוססות על ערך מקדם המתאם משתנות בהתאם ליישום. בפיזיקה ובכימיה, מקדם מתאם צריך להיות נמוך מ-0.9 או גבוה מ-0.9 כדי שהמתאם ייחשב כמשמעותי, בעוד שבמדעי החברה הסף יכול להיות עד -0.5 ונמוך עד 0.5.
עבור מקדמי מתאם הנגזרים מדגימה, קביעת המובהקות הסטטיסטית תלויה בערך ה-p, אשר מחושב מגודל מדגם הנתונים וכן מערכו של המקדם.
משוואת מקדם מתאם
כדי לחשב את המתאם של פירסון, התחל בקביעת סטיית התקן של כל משתנה וכן השונות ביניהם. מקדם המתאם הוא השונות המחולקת במכפלת סטיות התקן של שני המשתנים.
ρxy=Cov(x,y)σxσywhere:ρxy=Pearson מוצר-מומנט קורלציה מקדם Cov(x,y)=covariance של משתניםxandyσx=סטנדרט סטיית ofxσy=סטיית תקן ofy\begin{align} &}\rho_{xy \text{Cov} ( x, y ) }{ \sigma_x \sigma_y } \\ &\textbf{כאשר:} \\ &\rho_{xy} = \text{מקדם מתאם מוצר-רגע של פירסון} \\ &\text {Cov} ( x, y ) = \text{שונות של משתנים } x \text{ ו-} y \\ &\sigma_x = \text{סטיית תקן של } x \\ &\sigma_y = \text{סטיית תקן של } y \\ \end{aligned}ρxy=σxσyCov(x,y)where:ρxy=Pearson מקדם מתאם מוצר-מומנט Cov(x,y)=שונות של משתניםxandyσx=סטיית תקן ofxσy= סטיית תקן של
סטיית תקן היא מדד לפיזור הנתונים מהממוצע שלהם. שיתוף פעולה מראה אם שני המשתנים נוטים לנוע באותו כיוון, בעוד שמקדם המתאם מודד את חוזק הקשר הזה בסולם מנורמל, מ-1 ל-1.
ניתן לפרט את הנוסחה לעיל כ
r=n×(∑(X,Y)−(∑(X)×∑(Y)))(n×∑(X2)−∑(X)2)×(n×∑(Y2)−∑(Y) )2)where:r=מקדם מתאםn=מספר תצפיות\begin{aligned}&r = \frac { n \times ( \sum (X, Y) – ( \sum (X) \times \sum (Y) ) ) }{ \sqrt { ( n \times \sum (X ^ 2) – \sum (X) ^ 2 ) \times ( n \times \sum( Y ^ 2 ) – \sum (Y) ^ 2 ) } } \ \&\textbf{כאשר:}\\&r=\text{מקדם מתאם}\\&n=\text{מספר תצפיות}\end{aligned}r=(n×∑(X2)−∑(X)2 )×(n×∑(Y2)−∑(Y)2)n×(∑(X,Y)−(∑(X)×∑(Y)))כאשר:r=מקדם מתאםn=מספר תצפיות
סטטיסטיקת מתאם והשקעות
מקדם המתאם מועיל במיוחד בהערכה ובניהול סיכוני השקעה. לדוגמה, תיאוריית תיקים מודרנית מציעה שגיוון יכול להפחית את תנודתיות התשואות של תיק, ולבלום את הסיכון. מקדם המתאם בין התשואה ההיסטורית יכול להצביע על האם הוספת השקעה לתיק תשפר את הפיזור שלו.
חישובי מתאם הם גם עיקר השקעה של גורמים, אסטרטגיה לבניית תיק המבוסס על גורמים הקשורים לתשואות עודפות. בינתיים, סוחרים כמותיים משתמשים במתאמים היסטוריים ובמקדמי מתאם כדי לצפות שינויים בטווח הקרוב במחירי ניירות הערך.
מגבלות של מקדם המתאם של פירסון
מתאם אינו מרמז על סיבתיות, כפי שנאמר, ומקדם פירסון אינו יכול לקבוע אם אחד המשתנים המתואמים תלוי בשני.
גם מקדם המתאם אינו מראה איזה חלק מהשונות במשתנה התלוי ניתן לייחס למשתנה הבלתי תלוי. זה מוצג על ידי מקדם הקביעה, הידוע גם כ-R בריבוע, שהוא פשוט מקדם המתאם בריבוע.
מקדם המתאם אינו מתאר את השיפוע של קו ההתאמה הטובה ביותר; ניתן לקבוע את השיפוע בעזרת שיטת הריבועים הקטנים ביותר בניתוח רגרסיה.
לא ניתן להשתמש במקדם המתאם של פירסון להערכת אסוציאציות לא-לינאריות או כאלו הנובעות מנתונים שנדגמו שאינם נתונים להתפלגות חריגה. זה יכול גם להיות מעוות על ידי חריגים – נקודות נתונים הרחק מחוץ לתרשים הפיזור של התפלגות. ניתן לנתח את הקשרים הללו באמצעות שיטות לא פרמטריות, כגון מקדם המתאם של ספירמן, מקדם המתאם של דירוג קנדל או מקדם מתאם פוליכורי.
מציאת מקדמי מתאם באקסל
הדרך הפשוטה ביותר לחישוב מתאם ב-Excelis כדי להזין שתי סדרות נתונים בעמודות סמוכות ולהשתמש בנוסחת המתאם המובנית:
אם ברצונך ליצור מטריצת מתאם על פני מגוון מערכי נתונים, ל- Excel יש תוסף ניתוח נתונים בכרטיסייה נתונים, תחת ניתוח.
בחר את טבלת ההחזרות. במקרה זה, העמודות שלנו נקראות כותרות, ולכן אנו רוצים לסמן את התיבה "תוויות בשורה הראשונה", כדי ש-Excel ידע להתייחס אליהן ככותרות. לאחר מכן תוכל לבחור פלט על אותו גיליון או על גיליון חדש.
לחיצה על אנטר תיצור את מטריצת המתאם. אתה יכול להוסיף קצת טקסט ועיצוב מותנה כדי לנקות את התוצאה.
מהו מקדם מתאם?
מקדם המתאם מתאר כיצד משתנה אחד נע ביחס למשנהו. מתאם חיובי מצביע על כך שהשניים נעים באותו כיוון, כאשר ערך 1 מציין מתאם חיובי מושלם. ערך של -1 מראה מתאם שלילי מושלם, או הפוך, בעוד שאפס אומר שאין מתאם ליניארי.
כיצד משמש מקדם המתאם בהשקעות?
מקדמי מתאם ממלאים תפקיד מפתח בהערכות סיכונים בתיק ואסטרטגיות מסחר כמותיות. לדוגמה, מנהלי תיקים מסוימים יעטרו את מקדמי המתאם של אחזקותיהם כדי להגביל את התנודתיות והסיכון של התיק.
