מהי פונקציית צפיפות הסתברות (PDF)?
מהי פונקציית צפיפות הסתברות (PDF)? פונקציית צפיפות הסתברות (PDF) היא ביטוי סטטיסטי המגדיר התפלגות הסתברות (הסבירות לתוצאה) עבור משתנה דיסקרטי (לדוגמה, מניה או תעודת סל) בניגוד למשתנה אקראי רציף. ההבדל בין משתנה addiscreterandom הוא שאתה יכול לזהות ערך מדויק של המשתנה. ההתפלגות הנורמלית היא דוגמה נפוצה ל-PDF, היוצר את צורת הפעמון הידועה. בתחום הפיננסים, סוחרים ומשקיעים משתמשים בקובצי PDF כדי להבין כיצד מופצות תשואות המחירים כדי להעריך את הסיכון ואת פרופיל התשואה הצפוי שלהם.
מהי פונקציית צפיפות הסתברות (PDF)? – ההתפלגות הנורמלית היא דוגמה נפוצה ל-PDF, היוצר את צורת הפעמון הידועה.
מהי פונקציית צפיפות הסתברות (PDF)? – בתחום הפיננסים, סוחרים ומשקיעים משתמשים בקובצי PDF כדי להבין כיצד מופצות תשואות המחירים כדי להעריך את הסיכון ואת פרופיל התשואה הצפוי שלהם.
מהי פונקציית צפיפות הסתברות (PDF)? – נקודות מרכזיות
הבנת פונקציות צפיפות הסתברות (PDF)
קובצי PDF משמשים בפיננסים כדי לאמוד את הסיכון של נייר ערך מסוים, כגון מניה בודדת או ETF.
הם מתוארים בדרך כלל על גרף, עם עקומת פעמון רגילה המציינת סיכון שוק ניטרלי, ופעמון בשני קצותיו מציין סיכון/תגמול גדול או קטן יותר. כאשר ה-PDF מוצג בצורה גרפית, האזור שמתחת לעקומה יציין את המרווח שבו המשתנה ייפול. השטח הכולל במרווח זה של הגרף שווה להסתברות להתרחשות של משתנה אקראי בדיד.
ליתר דיוק, מכיוון שהסבירות המוחלטת של משתנה אקראי רציף מקבל כל ערך ספציפי היא אפס בגלל קבוצת הערכים האפשריים האינסופיים הזמינים, ניתן להשתמש בערך של PDF כדי לקבוע את הסבירות של משתנה אקראי שייפול בטווח ספציפי של ערכים.
התפלגות מוטה לצד ימין של העקומה מעידה על תגמול גבוה יותר כלפי מעלה, בעוד שהתפלגות מוטה לצד שמאל מצביעה על סיכון צדדי גדול יותר עבור סוחרים.
ניתן להשתמש בהתפלגויות הסתברות גם ליצירת פונקציות התפלגות מצטברות (CDFs), שמסכמות את ההסתברות להתרחשויות באופן מצטבר ויתחילו תמיד באפס ויסתיימו ב-100%.
פונקציות של התפלגות הסתברות בדיד לעומת רציף
קובצי PDF יכולים לתאר נתונים בדידים או רציפים. ההבדל הוא שמשתנים בדידים יכולים לקבל רק ערכים ספציפיים, כמו מספרים שלמים, כן לעומת לא, שעות ביום וכן הלאה. משתנה רציף, לעומת זאת, מכיל את כל הערכים לאורך העקומה, כולל שברים קטנים מאוד או עשרונים עד למספר אינסופי תיאורטית של מקומות.
חישוב פונקציית התפלגות הסתברות
קובצי PDF מאופיינים לעתים קרובות בממוצע, סטיית תקן, קורטוזיס והטיה שלהם.
חישוב ה-PDF והשרטוט שלו בצורה גרפית יכולים לכלול חישובים מורכבים המשתמשים במשוואות דיפרנציאליות או בחשבון אינטגרלי. בפועל, נדרשים מחשבוני גרפים או חבילות תוכנה סטטיסטיות כדי לחשב פונקציית התפלגות הסתברות.
ההתפלגות הנורמלית
כדוגמה, החישוב עבור ה-PDF של ההתפלגות הנורמלית הוא כדלקמן:
f(x)=1σ2πe−12(x−μσ)2כאשר:x=ערך של המשתנה או הנתונים הנבדקיםμ=Meanσ=Standard deviation\begin{aligned}&f(x) = \frac{ 1 }{ \sigma \sqrt { 2 \pi }} ה ^ { – \frac{ 1 }{ 2 } ( \frac { x – \mu }{ \sigma} ) ^ 2 } \\&\textbf{כאשר:} \\&x = \text {ערך המשתנה או הנתונים הנבדקים} \\&\mu = \text{Mean} \\&\sigma = \text{סטיית תקן} \\\end{aligned}f(x)=σ2π1 e−21(σx−μ)2where:x=ערך של המשתנה או הנתונים הנבדקיםμ=Meanσ=סטיית סטנדרטית
בהתפלגות נורמלית תמיד יש נטייה = 0 וקרטוזיס = 3.0.
פונקציות אחרות של התפלגות הסתברות
בעוד שההפצה הנורמלית היא לרוב המצוטטת והידועה ביותר, קיימים מספר קובצי PDF אחרים.
התפלגות אחידה
ההתפלגות הפשוטה והפופולרית ביותר היא התפלגות אחידה, שבה לכל התוצאות יש סיכוי שווה להתרחש. לקובייה בעלת שש צדדים יש חלוקה אחידה. לכל תוצאה יש הסתברות של כ-16.67% (1/6).
התפלגות הבינומית
התפלגות הבינומית מייצגת נתונים שיכולים לקבל רק אחד משני ערכים, כמו הטלת מטבע (ראשים מול זנבות) או ביטויים לוגיים שלוקחים בצורה של כן/לא, הפעלה/כיבוי וכו'.
היסטוגרמה של התפלגות בינומית.C.K.Taylor
התפלגות לוגנורמלית
ההתפלגות הלוגנורמלית חשובה בפיננסים מכיוון שהיא מתארת טוב יותר את תשואות מחיר הנכס בפועל מאשר ההתפלגות הנורמלית הרגילה. ל-PDF הזה יש הטיה חיובית (ימינה) וקרטוזיס גבוה יותר.
התפלגות פואסון
התפלגות Poisson היא PDF המשמש לתיאור משתני ספירה, או ההסתברויות שמספר מסוים של התרחשויות יקרה. לדוגמה, כמה תפוחים נמצאים על עצי תפוח, כמה דבורים חיות בכוורת לאורך זמן, או בכמה ימי מסחר תיק יאבד 5% או יותר.
הפצת בטא
התפלגות הבטא היא סוג כללי של PDF שיכול ללבוש מגוון של צורות ומאפיינים, כפי שהוגדרו על ידי שני פרמטרים בלבד: אלפא ובטא. הוא משמש לעתים קרובות בפיננסים כדי להעריך שיעורי התאוששות ברירת מחדל של איגרות חוב או שיעורי תמותה בביטוח.
וריאציות הפצה בטא.
דוגמה לפונקציית צפיפות הסתברות
כדוגמה פשוטה להתפלגות הסתברות, הבה נסתכל על המספר שנצפה בעת הטלת שתי קוביות סטנדרטיות שש צלעות. לכל קובייה יש הסתברות של 1/6 להטיל כל מספר בודד, אחד עד שש, אבל הסכום של שתי קוביות יהווה את התפלגות ההסתברות המתוארת בתמונה למטה.
שבע היא התוצאה השכיחה ביותר (1+6, 6+1, 5+2, 2+5, 3+4, 4+3). שניים ושתים עשרה, לעומת זאת, הם הרבה פחות סבירים (1+1 ו-6+6).
מה אומרת לנו פונקציית צפיפות הסתברות (PDF)?
פונקציית צפיפות הסתברות (PDF) מתארת את הסבירות שהיא תבחין בתוצאה כלשהי הנובעת מתהליך יצירת נתונים. לדוגמה, מה הסיכוי שמטבע הוגן יתהפך לראש (50%). או התפקיד של קובייה להגיע ל-6 (1/6 = 16.7%). קובץ PDF יכול לומר לנו אילו ערכים צפויים לפיכך להופיע לעומת התוצאות הפחות סבירות. זה ישתנה בהתאם לצורה ולמאפיינים של ה-PDF.
מהו משפט הגבול המרכזי (CLT) וכיצד הוא קשור לקובצי PDF?
משפט הגבול המרכזי (CLT) קובע שההתפלגות של משתנה אקראי במדגם תתחיל להתקרב להתפלגות נורמלית ככל שגודל המדגם יגדל, ללא קשר לצורה האמיתית של ההתפלגות. לפיכך, אנו יודעים שהטלת מטבע היא תהליך בינארי, המתואר על ידי ההתפלגות הבינומית (ראשים או זנבות). עם זאת, אם ניקח בחשבון כמה הטלות מטבעות, הסיכויים לקבל שילוב מסוים של ראשים וזנבות מתחילים להיות שונים. לדוגמה, אם היינו מטילים את המטבע עשר פעמים, הסיכוי לקבל 5 מכל אחד הוא סביר ביותר, אבל לקבל עשרה ראשים ברציפות זה נדיר ביותר. תארו לעצמכם 1,000 מטבעות, וההתפלגות מתקרבת לעקומת הפעמון הרגילה.
מה זה PDF לעומת CDF?
פונקציית צפיפות הסתברות (PDF) מסבירה אילו ערכים עשויים להופיע בתהליך יצירת נתונים בכל זמן נתון או עבור כל הגרלה נתונה. (או 1.0) של תוצאות אפשריות. באמצעות CDF נוכל לראות עד כמה סביר שתוצאת המשתנה תהיה קטנה או שווה לערך חזוי כלשהו. האיור שלהלן, למשל, מציג את ה-CDF עבור התפלגות נורמלית.
סיכום ומסקנות
פונקציות התפלגות הסתברות (PDF) מתארות את הערכים הצפויים של משתנים אקראיים שנלקחו ממדגם. צורת ה-PDF מסבירה עד כמה סביר שהתרחש ערך שנצפה. ההתפלגות הנורמלית היא דוגמה נפוצה שניתן לתאר רק את הממוצע ואת סטיית התקן שלה. קובצי PDF אחרים מורכבים ובעלי ניואנסים יותר. תשואות מחירי המניה נוטות לעקוב אחר התפלגות לוגית ולא נורמלית, מה שמעיד על כך שהפסדי צד שלילי שכיחים יותר מעליות גדולות מאוד, ביחס למה שההתפלגות הנורמלית תחזה.
