מה זה אומר הרמוני?
מה זה אומר הרמוני? הממוצע ההרמוני הוא סוג של ממוצע מספרי. הוא מחושב על ידי חלוקת מספר התצפיות, או הערכים בסדרה, בהדדיות של כל מספר בסדרה. לפיכך, הממוצע ההרמוני הוא ההדדיות של הממוצע האריתמטי של ההדדיות. לדוגמה, כדי לחשב את הממוצע ההרמוני של 1, 4 ו-4, תחלק את מספר התצפיות בהדדיות של כל מספר, באופן הבא: 3(11+14+14)=31.5=2\frac{3}{\left(\frac{1}{1}\ +\ \frac{1}{4}\ +\ \frac{1}{4 }\right)}\ =\ \frac{3}{1.5}\ =\ 2(11+41+41)3=1.53=2 לממוצע ההרמוני יש שימושים בפיננסים ובניתוח טכני של שווקים, בין היתר.
מה זה אומר הרמוני? – לדוגמה, כדי לחשב את הממוצע ההרמוני של 1, 4 ו-4, תחלק את מספר התצפיות בהדדיות של כל מספר, באופן הבא:
מה זה אומר הרמוני? – 3(11+14+14)=31.5=2\frac{3}{\left(\frac{1}{1}\ +\ \frac{1}{4}\ +\ \frac{1}{4 }\right)}\ =\ \frac{3}{1.5}\ =\ 2(11+41+41)3=1.53=2
מה זה אומר הרמוני? – לממוצע ההרמוני יש שימושים בפיננסים ובניתוח טכני של שווקים, בין היתר.
מה זה אומר הרמוני? – נקודות מרכזיות
היסודות של ממוצע הרמוני
הממוצע ההרמוני עוזר למצוא יחסי כפל או מחלק בין שברים מבלי לדאוג למכנים משותפים. אמצעים הרמוניים משמשים לעתים קרובות בממוצע דברים כמו תעריפים (למשל, מהירות הנסיעה הממוצעת בהינתן משך של מספר נסיעות).
הממוצע ההרמוני המשוקלל משמש בפיננסים לממוצע מכפלות כמו יחס המחיר לרווח (P/E) מכיוון שהוא נותן משקל שווה לכל נקודת נתונים. שימוש באמצעי אריתמטי משוקלל לממוצע יחסים אלה יעניק משקל גדול יותר לנקודות נתונים גבוהות מאשר נתונים נמוכים נקודות מכיוון שיחסי P/E אינם מנורמלים בזמן שהרווחים משוווים.
הממוצע ההרמוני הוא הממוצע ההרמוני המשוקלל, כאשר המשקולות שווים ל-1. הממוצע ההרמוני המשוקלל של x1, x2, x3 עם המשקלים התואמים w1, w2, w3 ניתן כ:
∑i=1nwi∑i=1nwixi\displaystyle{\frac{\sum^n_{i=1}w_i}{\sum^n_{i=1}\frac{w_i}{x_i}}}∑i=1n xiwi∑i=1nwi
ממוצע הרמוני לעומת ממוצע אריתמטי וממוצע גיאומטרי
דרכים אחרות לחישוב ממוצעים כוללות את הממוצע האריתמטי הפשוט ואת הממוצע הגיאומטרי. ביחד, שלושת סוגי הממוצע הללו (הרמוניים, אריתמטיים וגיאומטריים) ידועים כאמצעי פיתגורס. ההבחנות בין שלושת סוגי הממוצע הפיתגורי הופכת אותם למתאימים לשימושים שונים.
ממוצע אריתמטי הוא הסכום של סדרת מספרים חלקי הספירה של אותה סדרת מספרים. אם תתבקשו למצוא את הממוצע בכיתה (האריתמטי) של ציוני המבחנים, פשוט הייתם מחברים את כל ציוני המבחנים של התלמידים, ואז מחלקים את הסכום הזה במספר התלמידים. לדוגמה, אם חמישה תלמידים ניגשו לבחינה והציונים שלהם היו 60%, 70%, 80%, 90% ו-100%, ממוצע כיתות החשבון היה 80%.
הממוצע הגיאומטרי הוא הממוצע של קבוצת מוצרים, שחישובו משמש בדרך כלל לקביעת תוצאות הביצועים של השקעה או תיק השקעות. זה מוגדר מבחינה טכנית כ"תוצר אחרון של מספרים". יש להשתמש בממוצע הגיאומטרי כאשר עובדים עם אחוזים, שנגזרים מערכים, בעוד שהממוצע האריתמטי הסטנדרטי עובד עם הערכים עצמם.
דוגמה לממוצע ההרמוני
כדוגמה, קח שתי חברות. לאחד יש שווי שוק של 100 מיליארד דולר ורווח של 4 מיליארד דולר (P/E של 25), ולשני שווי שוק של מיליארד דולר ורווח של 4 מיליון דולר (P/E של 250). במדד העשוי משתי המניות, כאשר 10% מושקעים בראשונה ו-90% מושקעים בשנייה, יחס ה-P/E של המדד הוא:
שימוש ב-WAM: P/E=0.1×25+0.9×250=227.5 באמצעות WHM: P/E=0.1+0.90.125+0.9250≈131.6where:WAM=weighted arithmetic meanP/E-enings-WAM =משוקלל הרמונית ממוצע\begin{align}&\text{באמצעות WAM:\ P/E}\ =\ 0.1 \times25+0.9\times250\ =\ 227.5\\\\&\text{באמצעות WHM:\ P /E}\ =\ \frac{0.1\ +\ 0.9}{\frac{0.1}{25}\ +\ \frac{0.9}{250}}\ \approx\ 131.6\\&\textbf{כאשר:} \\&\text{WAM}=\text{ממוצע אריתמטי משוקלל}\\&\text{P/E}=\text{יחס מחיר לרווח}\\&\text{WHM}=\text{משוקלל ממוצע הרמוני}\end{aligned}שימוש ב-WAM: P/E=0.1×25+0.9×250=227.5בשימוש ב-WHM: P/E=250.1+2500.90.1+0.9≈131.6כאשר:WAM=weight arithmetic meanP/E=price-to-earnings ratioWHM=weighted harmonic mean
כפי שניתן לראות, הממוצע האריתמטי המשוקלל מעריך באופן משמעותי את יחס המחיר לרווח הממוצע.
יתרונות וחסרונות של ממוצע הרמוני
הממוצע ההרמוני יעיל מכיוון שהוא משלב את כל הערכים בסדרה, ונשאר בלתי אפשרי לחישוב אם פריט כלשהו אינו מותר. שימוש בממוצע ההרמוני מאפשר גם לתת שקלול משמעותי יותר לערכים קטנים יותר בסדרה, וניתן לחשב אותו גם לסדרה הכוללת ערכים שליליים. בהשוואה לממוצע האריתמטי ולממוצע הגיאומטרי, הממוצע ההרמוני יוצר עקומה ישרה יותר.
עם זאת, יש גם כמה חסרונות לשימוש בממוצע ההרמוני. בראש ובראשונה, מכיוון שהוא מצריך שימוש בהדדיות של המספרים בסדרה, חישוב הממוצע ההרמוני יכול להיות מורכב וגוזל זמן. בנוסף, בגלל חוסר האפשרות למצוא את ההדדיות של אפס, לא ניתן לחשב את הממוצע ההרמוני אם הסדרה מכילה ערך אפס. לבסוף, לכל ערכים קיצוניים בקצה הגבוה או הנמוך של הסדרה יש השפעה אינטנסיבית על תוצאות הממוצע ההרמוני.
מה ההבדל בין ממוצע הרמוני לממוצע אריתמטי?
הממוצע ההרמוני מחושב על ידי חלוקת מספר התצפיות, או הערכים בסדרה, בהדדיות של כל מספר בסדרה. לעומת זאת, הממוצע האריתמטי הוא פשוט סכום של סדרת מספרים חלקי ספירת המספרים באותה סדרה. הממוצע ההרמוני שווה להדדיות של הממוצע האריתמטי של ההדדיות.
מתי כדאי להשתמש באמצעי הרמוני?
הממוצע ההרמוני משמש בצורה הטובה ביותר עבור שברים כגון שיעורים או כפולות. אמצעים הרמוניים משמשים בפיננסים לממוצע נתונים כמו מכפילי מחיר כגון יחס מחיר לרווח (P/E). טכנאי שוק עשויים גם להשתמש באמצעים הרמוניים כדי לזהות דפוסים כגון רצפי פיבונאצ'י.
מהם היתרונות של שימוש באמצעי הרמוני?
הממוצע ההרמוני כולל בהכרח את כל הערכים בסדרה, והוא מאפשר לתת שקלול משמעותי יותר לערכים קטנים יותר. ניתן לחשב ממוצע הרמוני עבור סדרה הכוללת ערכים שליליים, אם כי אי אפשר לחשב כאשר הסדרה כוללת ערך של אפס. בהשוואה לממוצע האריתמטי ולממוצע הגיאומטרי, הממוצע ההרמוני יוצר עקומה ישרה יותר.
סיכום ומסקנות
הממוצע ההרמוני מחושב על ידי חלוקת מספר הערכים בסדרה בהדדיות של כל מספר בסדרה. הממוצע ההרמוני בולט משאר סוגי הממוצע הפיתגורי – הממוצע האריתמטי והממוצע הגיאומטרי – על ידי שימוש בהדדיות ומתן משקל גדול יותר לערכים קטנים יותר. הממוצע ההרמוני משמש בצורה הטובה ביותר לשברים כגון תעריפים, ובפיננסים הוא שימושי עבור ממוצע נתונים כמו מכפילי מחירים וזיהוי תבניות כגון רצפי פיבונאצ'י.
