התפלגות נורמלית: מה זה, מאפיינים, שימושים ונוסחה

מהי התפלגות נורמלית?

מהי התפלגות נורמלית? – התפלגות נורמלית, הידועה גם בשם התפלגות גאוסית, היא התפלגות הסתברות שהיא סימטרית לגבי הממוצע, המראה כי נתונים ליד הממוצע מופיעים בתדירות גבוהה יותר מאשר נתונים רחוקים מהממוצע.

בצורה גרפית, ההתפלגות הנורמלית מופיעה כ"עקומת פעמון ".

נקודות מפתח – מהי התפלגות נורמלית?

• ההתפלגות הנורמלית היא המונח המתאים לעקומת פעמון הסתברות.
• בהתפלגות נורמלית הממוצע הוא אפס וסטיית התקן היא 1. יש לו אפס הטיה וקרטוזיס של 3.
• התפלגויות נורמליות הן סימטריות, אך לא כל ההתפלגויות הסימטריות הן נורמליות.
• תופעות טבעיות רבות נוטות להתקרב להתפלגות הנורמלית.
• בפיננסים, רוב התפלגות התמחור אינן נורמליות לחלוטין.

הבנת התפלגות נורמלית

ההתפלגות הנורמלית היא סוג ההתפלגות הנפוץ ביותר שמניחים בניתוח טכני של שוק המניות ובסוגים אחרים של ניתוחים סטטיסטיים. להתפלגות הנורמלית הסטנדרטית יש שני פרמטרים: הממוצע וסטיית התקן.

מודל ההתפלגות הנורמלית חשוב בסטטיסטיקה והוא המפתח למשפט הגבול המרכזי (CLT). תיאוריה זו קובעת כי לממוצעים המחושבים ממשתנים אקראיים בלתי תלויים, מפוזרים זהים, יש התפלגויות נורמליות בקירוב, ללא קשר לסוג ההתפלגות ממנה נדגמים המשתנים (בתנאי שיש לה שונות סופית).1

ההתפלגות הנורמלית היא סוג אחד של התפלגות סימטרית . התפלגויות סימטריות מתרחשות כאשר קו הפרדה מייצר שתי תמונות מראה. לא כל ההתפלגויות הסימטריות הן נורמליות, מכיוון שחלק מהנתונים יכולים להופיע כשתי גבשושיות או סדרה של גבעות בנוסף לעקומת הפעמון המעידה על התפלגות נורמלית.

מאפייני ההתפלגות הנורמלית

להתפלגות הנורמלית יש מספר תכונות ומאפיינים מרכזיים שמגדירים אותה.

ראשית, הממוצע (ממוצע), החציון (נקודת האמצע) והמצב (התצפית השכיחה ביותר) כולם שווים זה לזה. יתר על כן, ערכים אלה מייצגים כולם את השיא, או הנקודה הגבוהה ביותר, של ההתפלגות. לאחר מכן, ההתפלגות נופלת באופן סימטרי סביב הממוצע, שרוחבו מוגדר על ידי סטיית התקן .

ניתן לתאר את כל ההתפלגות הנורמלית על ידי שני פרמטרים בלבד: הממוצע וסטיית התקן.

הכלל האמפירי

עבור כל ההתפלגויות הנורמליות, 68.2% מהתצפיות יופיעו בתוך פלוס או מינוס סטיית תקן אחת מהממוצע; 95.4% מהתצפיות ייפלו בתוך +/- שתי סטיות תקן; ו-99.7% בתוך +/- שלוש סטיות תקן. עובדה זו מכונה לעתים "הכלל האמפירי", היוריסטיקה המתארת ​​היכן יופיעו רוב הנתונים בהתפלגות נורמלית.

משמעות הדבר היא כי נתונים הנופלים מחוץ לשלוש סטיות תקן ("3-סיגמה") יסמלו התרחשויות נדירות.

עיוות

עיוות מודד את מידת הסימטריה של התפלגות. ההתפלגות הנורמלית היא סימטרית ובעלת הטיה של אפס.

אם להתפלגות של מערך נתונים במקום יש הטיה קטנה מאפס, או הטיה שלילית (שמאלה-skewing), אז הזנב השמאלי של ההתפלגות ארוך מהזנב הימני; הטיה חיובית (הטיית הימנית) מרמזת שהזנב הימני של ההתפלגות ארוך מהשמאלי.

קורטוזיס

Kurtosis מודד את עובי קצוות הזנב של התפלגות ביחס לזנבות של התפלגות. להתפלגות הנורמלית יש קורטוזיס השווה ל-3.0.

התפלגויות עם קורטוזיס גדול יותר מ-3.0 מציגות נתוני זנב העולים על זנבות ההתפלגות הנורמלית (למשל, חמש או יותר סטיות תקן מהממוצע). עודף קורטוזיס זה ידוע בסטטיסטיקה כ- leptokurtic , אך מכונה יותר בדיבור בשם "זנבות שמנים". התרחשותם של זנבות שומן בשווקים הפיננסיים מתארת ​​את מה שמכונה סיכון זנב .

התפלגות עם קורטוזיס נמוכה פחות מ-3.0 ( פלטיקורטיק ) מציגות זנבות שהם בדרך כלל פחות קיצוניים ("רזים") יותר מהזנבות של ההתפלגות הנורמלית.

הנוסחה להתפלגות נורמלית

ההתפלגות הנורמלית עוקבת אחר הנוסחה הבאה. שים לב שרק ערכי הממוצע (μ) וסטיית התקן (σ) נחוצים

איפה:

• x  = ערך המשתנה או הנתונים הנבדקים ו-f(x) פונקציית ההסתברות
• μ = הממוצע
• σ = סטיית התקן

כיצד נעשה שימוש בהפצה נורמלית בפיננסים

ההנחה של התפלגות נורמלית מיושמת על מחירי הנכסים וכן על פעולת המחיר . סוחרים עשויים לתכנן נקודות מחיר לאורך זמן כדי להתאים את פעולת המחיר האחרונה להתפלגות נורמלית. ככל שפעולת מחיר נוספת נעה מהממוצע, במקרה זה, כך גדלה הסבירות שנכס מוערך יתר על המידה או נמוך יותר. סוחרים יכולים להשתמש בסטיות התקן כדי להציע עסקאות פוטנציאליות. סוג זה של מסחר נעשה בדרך כלל במסגרות זמן קצרות מאוד, שכן לוחות זמנים גדולים יותר מקשים בהרבה על בחירת נקודות כניסה ויציאה.

באופן דומה, תיאוריות סטטיסטיות רבות מנסות ליצור מודל של מחירי נכסים בהנחה שהם פועלים לפי התפלגות נורמלית. במציאות, התפלגויות המחירים נוטות להיות עם זנבות שומן, ולכן יש להן קורטוזיס גדול משלוש. לנכסים כאלה היו תנועות מחירים הגדולות משלוש סטיות תקן מעבר לממוצע לעתים קרובות יותר ממה שניתן היה לצפות בהנחה של התפלגות נורמלית. גם אם נכס עבר תקופה ארוכה שבה הוא מתאים לחלוקה נורמלית, אין ערובה לכך שביצועי העבר באמת מודיעים על סיכויי העתיד.

דוגמה להתפלגות נורמלית

נראה כי תופעות טבעיות רבות מפוזרות בצורה נורמלית. קחו למשל את התפלגות הגבהים של בני האדם. נמצא שהגובה הממוצע הוא בערך 175 ס"מ (5' 9 אינץ'), סופרים זכרים ונקבות כאחד.

כפי שמראה התרשים שלהלן, רוב האנשים עומדים בממוצע הזה. בינתיים, קיימים אנשים גבוהים ונמוכים יותר, אך בשכיחות הולכת ופוחתת באוכלוסייה. על פי הכלל האמפירי, 99.7% מכלל האנשים יפלו עם +/- שלוש סטיות תקן של הממוצע, או בין 154 ס"מ (5' 0") ל-196 ס"מ (6' 5"). אלה גבוהים ונמוכים מזה יהיו די נדירים (רק 0.15% מהאוכלוסייה כל אחד).

מה הכוונה בהתפלגות הנורמלית?

ההתפלגות הנורמלית מתארת ​​עלילה סימטרית של נתונים סביב הערך הממוצע שלה, כאשר רוחב העקומה מוגדר על ידי סטיית התקן. הוא מתואר חזותית כ"עקומת הפעמון".

מדוע התפלגות הנורמלית נקראת "נורמלית?"

ההתפלגות הנורמלית ידועה מבחינה טכנית בשם התפלגות גאוסית, אולם היא קיבלה את המינוח "נורמלי" בעקבות פרסומים מדעיים במאה ^ה -19 שהראו כי תופעות טבע רבות נראו כ"סטות באופן נורמאלי" מהממוצע. רעיון זה של "שונות נורמלית" הפך לפופולרי בתור "העקומה הרגילה" על ידי חוקר הטבע סר פרנסיס גלטון ביצירתו משנת 1889, Natural Heritance.2

מהן המגבלות של החלוקה הנורמלית בפיננסים?

למרות שההתפלגות הנורמלית היא מושג סטטיסטי חשוב ביותר, ניתן להגביל את יישומיה בפיננסים מכיוון שתופעות פיננסיות – כמו תשואות צפויות בבורסה – אינן נופלות בצורה מסודרת בתוך התפלגות נורמלית. למעשה, המחירים נוטים לעקוב אחר התפלגות לוג-נורמלית שהיא מוטה ימינה ועם זנבות שמנים יותר. לכן, הסתמכות רבה מדי על עקומת פעמון בעת ​​ביצוע תחזיות לגבי אירועים אלה עלולה להוביל לתוצאות לא אמינות. למרות שרוב האנליטיקאים מודעים היטב למגבלה זו, קשה יחסית להתגבר על חסרון זה מכיוון שלעתים קרובות לא ברור באיזו התפלגות סטטיסטית להשתמש כחלופה.