מהו משפט הגבול המרכזי (CLT)?
מהו משפט הגבול המרכזי (CLT)? בתורת ההסתברות, משפט הגבול המרכזי (CLT) קובע כי ההתפלגות של משתנה מדגם מתקרבת להתפלגות נורמלית (כלומר, "עקומת פעמון") ככל שגודל המדגם הופך גדול יותר, בהנחה שכל המדגמים זהים בגודלם, וללא קשר ל- צורת התפוצה בפועל של האוכלוסייה. במילים אחרות, CLT היא הנחה אסטטיסטית שבהינתן גודל מדגם גדול מספיק מאוכלוסיה עם רמת שונות סופית, הממוצע של כל המשתנים הנדגמים מאותה אוכלוסייה יהיה שווה בערך לממוצע של כלל האוכלוסייה. יתרה מזאת, מדגמים אלו מקרובים התפלגות א-נורמלית, כאשר השונות שלהם שווה בערך לשונות האוכלוסייה ככל שגודל המדגם הולך וגדל, בהתאם לחוק המספרים הגדולים. אף על פי שמושג זה פותח לראשונה על ידי אברהם דה מויברה בשנת 1733, הוא לא התגבש עד 1930, כאשר המתמטיקאי ההונגרי ג'ורג' פוליה כינה אותו כמשפט הגבול המרכזי.
מהו משפט הגבול המרכזי (CLT)? – במילים אחרות, CLT היא הנחה אסטטיסטית שבהינתן גודל מדגם גדול מספיק מאוכלוסיה עם רמת שונות סופית, הממוצע של כל המשתנים הנדגמים מאותה אוכלוסייה יהיה שווה בערך לממוצע של כלל האוכלוסייה. יתרה מזאת, מדגמים אלו מקרובים התפלגות א-נורמלית, כאשר השונות שלהם שווה בערך לשונות האוכלוסייה ככל שגודל המדגם הולך וגדל, בהתאם לחוק המספרים הגדולים.
מהו משפט הגבול המרכזי (CLT)? – אף על פי שמושג זה פותח לראשונה על ידי אברהם דה מויברה בשנת 1733, הוא לא התגבש עד 1930, כאשר המתמטיקאי ההונגרי ג'ורג' פוליה כינה אותו כמשפט הגבול המרכזי.
מהו משפט הגבול המרכזי (CLT)? – נקודות מרכזיות
הבנת משפט הגבול המרכזי (CLT)
לפי משפט הגבול המרכזי, הממוצע של מדגם נתונים יהיה קרוב יותר לממוצע של כלל האוכלוסייה הנדונה, ככל שגודל המדגם גדל, על אף ההתפלגות בפועל של הנתונים. במילים אחרות, הנתונים מדויקים בין אם ההתפלגות היא נורמלית או חריגה.
ככלל, גדלים של מדגם בסביבות 30-50 נחשבים מספיקים ל-CLT להחזיק, כלומר התפלגות אמצעי המדגם מתפלגת בצורה נורמלית למדי. לכן, ככל שלוקחים יותר דגימות, כך התוצאות המוצגות בגרף לובשות צורה של התפלגות נורמלית. שים לב, עם זאת, משפט הגבול המרכזי עדיין יהיה משוער במקרים רבים עבור גדלי מדגם קטנים בהרבה, כגון n=8 או n=5.
משפט הגבול המרכזי משמש לעתים קרובות יחד עם חוק המספרים הגדולים, הקובע כי הממוצע של אמצעי המדגם וסטיות התקן יתקרב יותר להשוואה לממוצע האוכלוסייה ולסטיית התקן ככל שגודל המדגם גדל, וזה שימושי ביותר בחיזוי מדויק של המאפיינים של אוכלוסיות.
מרכיבי מפתח של משפט הגבול המרכזי
משפט הגבול המרכזי מורכב ממספר מאפיינים מרכזיים. מאפיינים אלה סובבים במידה רבה סביב מדגמים, גודל מדגם ואוכלוסיית הנתונים.
משפט הגבול המרכזי במימון
ה-CLT שימושי בעת בחינת התשואות של מניה בודדת או מדדים רחבים יותר, מכיוון שהניתוח פשוט, בשל הקלות היחסית של הפקת הנתונים הפיננסיים הדרושים. כתוצאה מכך, משקיעים מכל הסוגים מסתמכים על ה-CLT כדי לנתח תשואות מניות, לבנות תיקים ולנהל סיכונים.
נניח, למשל, משקיע מעוניין לנתח את התשואה הכוללת עבור מדד מניות הכולל 1,000 מניות. בתרחיש זה, משקיע זה עשוי פשוט ללמוד מדגם אקראי של מניות כדי לטפח תשואות משוערות של המדד הכולל. ליתר ביטחון, יש לדגום לפחות 30-50 מניות שנבחרו באקראי במגזרים שונים כדי שיחזיק במשפט הגבול המרכזי. יתר על כן, יש להחליף מניות שנבחרו בעבר בשמות שונים כדי לסייע בביטול הטיה.
מדוע משפט הגבול המרכזי שימושי?
משפט הגבול המרכזי שימושי בעת ניתוח מערכי נתונים גדולים מכיוון שהוא מאפשר להניח שהתפלגות הדגימה של הממוצע תהיה מחולקת נורמלית ברוב המקרים. זה מאפשר ניתוח סטטיסטי קל יותר והסקת מסקנות. לדוגמה, משקיעים יכולים להשתמש במשפט הגבול המרכזי כדי לצבור נתוני ביצועי אבטחה בודדים וליצור התפלגות של אמצעי מדגם המייצגים התפלגות אוכלוסיה גדולה יותר עבור תשואות אבטחה על פני תקופה של זמן.
מדוע גודל מזעור המדגם של משפט הגבול המרכזי הוא 30?
גודל מדגם של 30 נפוץ למדי בסטטיסטיקה. גודל מדגם של 30 לעתים קרובות מגדיל את רווח הסמך של מערך נתוני האוכלוסייה שלך מספיק כדי להצדיק הצהרות נגד הממצאים שלך. ככל שגודל המדגם שלך גבוה יותר, כך גדל הסיכוי שהמדגם יהיה מייצג את מערך האוכלוסייה שלך.
