מהו מודל התמחור של אופציות בינומיות?
מהו מודל התמחור של אופציות בינומיות? מודל תמחור אופציות בינומיות הוא שיטת הערכת אופציות שפותחה בשנת 1979. מודל תמחור אופציות בינומי משתמש בהליך איטרטיבי, המאפשר לציין צמתים, או נקודות זמן, בטווח הזמן שבין תאריך ההערכה לתאריך התפוגה של האופציה.
מהו מודל התמחור של אופציות בינומיות? – נקודות מרכזיות
המודל מקטין את האפשרויות לשינויי מחירים ומסיר את האפשרות לארביטראז'. דוגמה פשוטה של עץ אבינומי עשוי להיראות בערך כך:
יסודות מודל תמחור אופציות בינומיות
עם מודלים של מחירי אופציות בינומיים, ההנחות הן שיש שתי תוצאות אפשריות – ומכאן, החלק הבינומי של המודל. עם מודל תמחור, שתי התוצאות הן עלייה למעלה, או עלייה למטה. היתרון העיקרי של מודל תמחור אופציות בינומיות הוא שהן פשוטות מבחינה מתמטית. עם זאת, מודלים אלה יכולים להפוך למורכבים במודל רב-תקופתי.
בניגוד למודל Black-Scholes, המספק תוצאה מספרית על בסיס תשומות, המודל הבינומי מאפשר חישוב של הנכס ואפשרות למספר תקופות יחד עם טווח התוצאות האפשריות לכל תקופה (ראה להלן).
היתרון של תצוגת ריבוי תקופות זו הוא שהמשתמש יכול לדמיין את השינוי במחיר הנכס מתקופה לתקופה ולהעריך את האפשרות על סמך החלטות שהתקבלו בנקודות זמן שונות. עבור אופציה מבוססת ארה"ב, שניתן לממש אותה בכל עת לפני תאריך התפוגה, המודל הבינומי יכול לספק תובנה לגבי מתי מומלץ לממש את האופציה ומתי יש להחזיק אותה לתקופות ארוכות יותר.
על ידי התבוננות בעץ הערכים הבינומי, סוחר יכול לקבוע מראש מתי תתרחש החלטה על פעילות גופנית. אם לאופציה יש ערך חיובי, קיימת אפשרות למימוש ואילו אם האופציה בעלת ערך נמוך מאפס, יש להחזיקה לתקופות ארוכות יותר.
חישוב מחיר עם המודל הבינומי
השיטה הבסיסית לחישוב מודל האופציות הבינומיות היא להשתמש באותה הסתברות בכל תקופה להצלחה וכישלון עד לפקיעת האופציה. עם זאת, סוחר יכול לשלב הסתברויות שונות עבור כל תקופה בהתבסס על מידע חדש המתקבל ככל שעובר הזמן.
עץ בינומי הוא כלי שימושי בעת תמחור אפשרויות אמריקאיות ואפשרויות משובצות. הפשטות שלו היא היתרון והחסרון בו זמנית. קל לדגמן את העץ בצורה מכנית, אבל הבעיה נעוצה בערכים האפשריים שנכס הבסיס יכול לקחת בפרק זמן אחד. במודל עץ בינומי, נכס הבסיס יכול להיות שווה רק אחד משני ערכים אפשריים, וזה לא ריאלי, שכן נכסים יכולים להיות שווים כל מספר של ערכים בכל טווח נתון.
לדוגמה, ייתכן שיש סיכוי של 50/50 שמחיר נכס הבסיס יכול לעלות או לרדת ב-30 אחוז בתקופה אחת. עם זאת, עבור התקופה השנייה, ההסתברות שמחיר נכס הבסיס יעלה עשויה לגדול ל-70/30.
לדוגמה, אם משקיע מעריך היטב את המשקיע, אותו משקיע אינו בטוח מה ערכה של באר הנפט, אבל יש סיכוי של 50/50 שהמחיר יעלה. אם מחירי הנפט יעלו בתקופה 1 מה שהופך את באר הנפט ליותר ערך ובסיסי השוק מצביעים כעת על עלייה מתמשכת במחירי הנפט, ההסתברות לעלייה נוספת במחיר עשויה להיות כעת 70 אחוזים. המודל הבינומי מאפשר גמישות זו; המודל של Black-Scholes לא.
דוגמה עולמית של מודל תמחור אופציות בינומיות
דוגמה מפושטת של עץ אבינומי יש רק שלב אחד. נניח שיש מניה שמחירה של 100 דולר למניה. בעוד חודש, המחיר של מניה זו יעלה ב-$10 או ירד ב-10$, וייצור את המצב הזה:
לאחר מכן, נניח שיש אופציית רכישה זמינה במניה זו שתפוג בעוד חודש ומחיר מימוש של $100. במצב למעלה, אפשרות ההתקשרות הזו שווה $10, ובמצב למטה היא שווה $0. המודל הבינומי יכול לחשב מה אמור להיות מחיר אופציית הרכש היום.
למטרות פישוט, נניח שמשקיע רוכש חצי מניה וכותב או מוכר אופציית רכש אחת. סך ההשקעה היום הוא מחיר של חצי מניה בניכוי מחיר האופציה, והתמורה האפשרית בסוף החודש היא:
התמורה בתיק שווה לא משנה איך מחיר המניה נע. בהינתן תוצאה זו, בהנחה שאין הזדמנויות ארביטראז', משקיע צריך להרוויח את הריבית ללא סיכון במהלך החודש. העלות היום חייבת להיות שווה לתמורה בהנחה בתעריף נטול סיכון למשך חודש אחד. המשוואה לפתרון היא כך:
בהנחה שהשיעור חסר הסיכון הוא 3% לשנה, ו-T שווה ל-0.0833 (אחד חלקי 12), אז המחיר של אופציית הרכש היום הוא 5.11 דולר.
מודל תמחור האופציות הבינומי מציג שני יתרונות למוכרי אופציות על פני מודל Black-Scholes. הראשון הוא הפשטות שלו, המאפשרת פחות שגיאות באפליקציה המסחרית. השני הוא הפעולה האיטרטיבית שלו, אשר מתאימה את המחירים בזמן כדי לצמצם את ההזדמנות של קונים לבצע אסטרטגיות ארביטראז'.
לדוגמה, מכיוון שהוא מספק זרם של הערכות שווי עבור נגזר לכל צומת בפרק זמן, הוא שימושי להערכת שווי של נגזרים כגון אופציות אמריקאיות – שניתן לבצע בכל עת בין תאריך הרכישה לתאריך התפוגה. זה גם הרבה יותר פשוט מדגמי תמחור אחרים כמו דגם Black-Scholes.
