מהו משך המקאוליי?
מהו משך המקאוליי? משך הזמן של Macaulay הוא הטווח הממוצע עד לפדיון של תזרימי המזומנים מהאג"ח. משקלו של כל תזרים מזומנים נקבע על ידי חלוקת הערך הנוכחי של תזרים המזומנים במחיר. משך Macaulay משמש לעתים קרובות על ידי מנהלי תיקים המשתמשים באסטרטגיית חיסון. ניתן לחשב את משך המקאוליי באופן הבא: Macaulay Duration=∑t=1nt×C(1+y)t+n×M(1+y)nCurrent Bond Pricewhere:t=Respective time periodC=Periodic Coupon Paymenty=Periodic yieldn=מספר סה”כ של תקופותM=ערך התחלה {aligned}&\text{Macaulay Duration} = \frac{ \sum_{t = 1} ^ {n} \frac{ t \times C }{ (1 + y) ^ t } + \frac{ n \times M }{ (1 + y) ^ n } }{ \text{מחיר אג"ח נוכחי} } \\&\textbf{כאשר:} \\&t = \text{תקופת זמן בהתאמה} \\&C = \text{תשלום קופון תקופתי } \\&y = \text{תשואה תקופתית} \\&n = \text{מספר כולל של תקופות} \\&M = \text{ערך בגרות} \\\end{aligned}Macaulay Duration=Current Bond Price∑t= 1n(1+y)tt×C+(1+y)nn×Mהיכן:t=Respective Time periodC=Periodic Coupon paymenty=Periodic yieldn=Satal מספר של תקופותM=Turity value
מהו משך המקאוליי? – ניתן לחשב את משך המקאוליי באופן הבא:
מהו משך המקאוליי? – Macaulay Duration=∑t=1nt×C(1+y)t+n×M(1+y)nCurrent Bond Pricewhere:t=Respective time periodC=Periodic Coupon Paymenty=Periodic yieldn=מספר סה”כ של תקופותM=ערך התחלה {aligned}&\text{Macaulay Duration} = \frac{ \sum_{t = 1} ^ {n} \frac{ t \times C }{ (1 + y) ^ t } + \frac{ n \times M }{ (1 + y) ^ n } }{ \text{מחיר אג"ח נוכחי} } \\&\textbf{כאשר:} \\&t = \text{תקופת זמן בהתאמה} \\&C = \text{תשלום קופון תקופתי } \\&y = \text{תשואה תקופתית} \\&n = \text{מספר כולל של תקופות} \\&M = \text{ערך בגרות} \\\end{aligned}Macaulay Duration=Current Bond Price∑t= 1n(1+y)tt×C+(1+y)nn×Mהיכן:t=Respective Time periodC=Periodic Coupon paymenty=Periodic yieldn=Satal מספר של תקופותM=Turity value
מהו משך המקאוליי? – הבנת משך Macaulay
המדד נקרא על שמו של יוצרו, פרדריק מקאוליי. ניתן לראות את משך מקאוליי כנקודת האיזון הכלכלית של קבוצת תזרימי מזומנים. דרך נוספת לפרש את הנתון היא שמספר השנים הממוצע המשוקלל הוא שמשקיע חייב לשמור על עמדה באג"ח עד שהערך הנוכחי של תזרימי המזומנים של האג"ח יהיה שווה לסכום ששולם עבור האג"ח.
גורמים המשפיעים על משך הזמן
מחיר אג"ח, מועד, קופון ותשואה לפדיון כלולים בחישוב משך הזמן. כל השאר שווים, משך הזמן גדל ככל שהבגרות עולה. ככל שהקופון של אג"ח גדל, משך הזמן שלו פוחת. ככל שהריבית עולה, משך הזמן פוחת ורגישות האג"ח לעליות ריבית נוספות יורדת. כמו כן, הזמנת מקום מימון, תשלום מראש מתוזמן לפני הפירעון, והפרשות שיחות מורידות את משך האג"ח.
דוגמה לחישוב
החישוב של משך Macaulay הוא פשוט. הבה נניח שאג"ח בשווי 1,000$ משלמת קופון של 6% ומגיעה לפדיון תוך שלוש שנים. שיעורי הריבית הם 6% לשנה, בשילוב חצי שנתי. האיגרת משלמת את הקופון פעמיים בשנה ומשלמת את הקרן על התשלום הסופי. לאור זאת, צפויים תזרימי המזומנים הבאים במהלך שלוש השנים הקרובות:
תקופה 1:$30Period 2:$30Period 3:$30Period 4:$30Period 5:$30Period 6:$1,030\begin{aligned} &\text{תקופה 1}: \$30 \\ &\text{תקופה 2}: $30 \\ &\text{תקופה 3}: \$30 \\ &\text{תקופה 4}: \$30 \\ &\text{תקופה 5}: \$30 \\ &\text{תקופה 6}: \$1,030 \ \ \end{aligned}תקופה 1:$30תקופה 2:$30 תקופה 3:$30 תקופה 4:$30 תקופה 5:$30 תקופה 6: $1,030
עם התקופות ותזרימי המזומנים ידועים, יש לחשב מקדם היוון לכל תקופה. זה מחושב כ-1 ÷ (1 + r)n, כאשר r הוא שיעור הריבית ו-n הוא מספר התקופה המדוברת. שיעור הריבית, r, מורכב מדי חצי שנה הוא 6% ÷ 2 = 3%. לכן, גורמי ההנחה יהיו:
תקופה 1 גורם הנחה:1÷(1+.03)1=0.9709Period 2 גורם הנחה:1÷(1+.03)2=0.9426 Period 3 פקטור הנחה:1÷(1+.03)3=0.9141Period גורם הנחה:1÷(1+.03)4=0.8885תקופה 5 גורם הנחה:1÷(1+.03)5=0.8626 פקטור 6 הנחה:1÷(1+.03)6=0.8375\begin{aligned } &\text{תקופה 1 הנחה}: 1 \div ( 1 + .03 ) ^ 1 = 0.9709 \\ &\text{תקופה 2 הנחה}: 1 \div ( 1 + .03 ) ^ 2 = 0.9426 \ \ &\text{תקופה 3 הנחה}: 1 \div ( 1 + .03 ) ^ 3 = 0.9151 \\ &\text{תקופה 4 הנחה}: 1 \div ( 1 + .03 ) ^ 4 = 0.8885 \ \ &\text{תקופה 5 הנחה}: 1 \div ( 1 + .03 ) ^ 5 = 0.8626 \\ &\text{תקופה 6 הנחה}: 1 \div ( 1 + .03 ) ^ 6 = 0.8375 \ \ \end{aligned}תקופת 1 גורם הנחה:1÷(1+.03)1=0.9709 תקופה 2 גורם הנחה:1÷(1+.03)2=0.9426 תקופה 3 פקטור הנחה:1÷(1+. 03)3=0.9151Period 4 גורם הנחה:1÷(1+.03)4=0.8885Period 5 גורם הנחה:1÷(1+.03)5=0.8626Period 6 פקטור הנחה:1÷(1+.03)( 6=0.8375
לאחר מכן, הכפל את תזרים המזומנים של התקופה במספר התקופה ובמקדם ההיוון המתאים לה כדי למצוא את הערך הנוכחי של תזרים המזומנים:
תקופה 1:1×$30×0.9709=$29.13תקופה 2:2×$30×0.9426=$56.56תקופה 3:3×$30×0.9151=$82.36 תקופה 4:4×$30×0.8885 =0.8885 $0.6×1$ $129.39 תקופה 6:6×$1,030×0.8375=$5,175.65∑Period=16=$5,579.71=numerator\begin{aligned} &\text{Period 1}: 1 \times \$30 \times 0.9709 = \$29 &\text }: 2 \times \$30 \times 0.9426 = \$56.56 \\ &\text{תקופה 3}: 3 \times \$30 \times 0.9151 = \$82.36 \\ &\text{תקופה 4}: 4 \times \$30 \ פעמים 0.8885 = \$106.62 \\ &\text{תקופה 5}: 5 \times \$30 \times 0.8626 = \$129.39 \\ &\text{תקופה 6}: 6 \times \$1,030 \times 0.8375 \$0.5,5,71\5. \sum_{\text{ תקופה } = 1} ^ {6} = \$5,579.71 = \text{numerator} \\ \end{aligned}תקופה 1:1×$30×0.9709=$29.13תקופה 2:2×$30×0.9426 =$56.56תקופה 3:3×$30×0.9151=$82.36תקופה 4:4×$30×0.8885=$106.62 תקופה 5:5×$30×0.8626=$129.39תקופה 6:7×0.5$=129.39$1,035×0. d=1∑6=$5,579.71 =מונה
מחיר אג"ח נוכחי=∑PV זרמי מזומנים=16מחיר אג"ח נוכחי=30÷(1+.03)1+30÷(1+.03)2מחיר איגרות חוב נוכחי=+⋯+1030÷(1+.03)6מחיר איגרות חוב נוכחי= $1,000Current Bond Price=denominator\begin{aligned} &\text{Current Bond Price} = \sum_{\text{ PV Cash Flows } = 1} ^ {6} \\ &\phantom{ \text{Current Bond Price} } = 30 \div ( 1 + .03 ) ^ 1 + 30 \div ( 1 + .03 ) ^ 2 \\ &\phantom{ \text{מחיר אג"ח נוכחי} = } + \cdots + 1030 \div ( 1 + 03 מחיר אג"ח נוכחי=PV זרמי מזומנים=1∑6מחיר אג"ח נוכחי=30÷(1+.03)1+30÷(1+.03)2מחיר איגרות חוב נוכחי=+⋯+1030÷(1+.03)6 נוכחי מחיר אג"ח=$1,000 נוכחי מחיר אג"ח=מכנה
(שימו לב שמכיוון ששיעור הקופון והריבית זהים, האג"ח ייסחר בשווי.)
Macaulay Duration=$5,579.71÷$1,000=5.58\begin{aligned} &\text{Macaulay Duration} = \$5,579.71 \div \$1,000 = 5.58 \\ \end{aligned}=Macaulay Duration=$5,579$1,70$5.
איגרת חוב משלמת קופונים תמיד תהיה קצרה מזמן הפירעון שלה. בדוגמה לעיל, משך הזמן של 5.58 חצי שנים קטן מהזמן לפדיון של שש חצי שנים. במילים אחרות, 5.58 ÷ 2 = 2.79 שנים, שזה פחות משלוש שנים.
