מה זה קורטוזיס?
מה זה קורטוזיס? Kurtosis הוא מדד סטטיסטי המשמש לתיאור מאפיין של מערך נתונים. כאשר נתונים בחלוקה נורמלית משורטטים על גרף, הם בדרך כלל לובשים צורה של פעמון הפוך. זה נקרא עקומת הפעמון. הנתונים המתוכננים הרחוקים ביותר מהממוצע של הנתונים יוצרים בדרך כלל את הזנבות בכל צד של העקומה. Kurtosis מציין כמה נתונים שוכנים בזנבות. להתפלגויות עם קורטוזיס גדול יש יותר נתוני זנב מאשר נתונים מפוזרים רגילים, מה שנראה שמביא את הזנב לכיוון הממוצע. להפצות עם קורטוזיס נמוך יש פחות נתוני זנב, שנראה כי הם דוחפים את זנבות עקומת הפעמון הרחק מהממוצע. עבור משקיעים, קורטוזיס גבוה של עקומת התפלגות התשואה מרמז על כך שהיו תנודות מחירים רבות בעבר (חיוביות או שליליות) הרחק מהתשואות הממוצעות להשקעה. לכן, משקיע עשוי לחוות תנודות מחירים קיצוניות עם השקעה עם קורטוזיס גבוה. תופעה זו ידועה בסיכון askurtosis.
מה זה קורטוזיס? – להתפלגויות עם קורטוזיס גדול יש יותר נתוני זנב מאשר נתונים מפוזרים רגילים, מה שנראה שמביא את הזנב לכיוון הממוצע. להפצות עם קורטוזיס נמוך יש פחות נתוני זנב, שנראה כי הם דוחפים את זנבות עקומת הפעמון הרחק מהממוצע.
מה זה קורטוזיס? – עבור משקיעים, קורטוזיס גבוה של עקומת התפלגות התשואה מרמז על כך שהיו תנודות מחירים רבות בעבר (חיוביות או שליליות) הרחק מהתשואות הממוצעות להשקעה. לכן, משקיע עשוי לחוות תנודות מחירים קיצוניות עם השקעה עם קורטוזיס גבוה. תופעה זו ידועה בסיכון askurtosis.
מה זה קורטוזיס? – נקודות מרכזיות
1:16
קורטוזיס
הבנת קורטוזיס
קורטוזיס הוא מדד למשקל המשולב של זנבות התפלגות ביחס למרכז עקומת ההתפלגות (הממוצע). לדוגמה, כאשר קבוצה של נתונים נורמליים בקירוב מוצגת באמצעות היסטוגרמה, היא מציגה שיא פעמון, כאשר רוב הנתונים נמצאים בתוך שלוש סטיות תקן (פלוס או מינוס) מהממוצע. עם זאת, כאשר קיימת קורטוזיס גבוהה, הזנבות נמשכים רחוק יותר משלוש סטיות התקן של התפלגות הפעמון הרגילה.
קורטוזיס מבולבל לפעמים עם מדד לשיא של התפלגות. עם זאת, קורטוזיס הוא מדד המתאר את צורת זנבות התפלגות ביחס לצורתה הכללית. ניתן להגיע לשיא חד של התפלגות עם קורטוזיס נמוך, והתפלגות יכולה להיות בעלת שיא נמוך יותר עם קורטוזיס גבוה. לפיכך, קורטוזיס מודד "זנב", לא "שיא".
חישוב ביד
חישוב קורטוזיס ביד הוא מאמץ ממושך, ולוקח מספר צעדים כדי להגיע לתוצאות. נשתמש בנקודות נתונים חדשות ונגביל את מספרן כדי לפשט את החישוב. נקודות הנתונים החדשות הן 27, 13, 17, 57, 113 ו-25.
ראשית, עליך לחשב את הממוצע. חברו את המספרים וחלקו בשש כדי לקבל 42. לאחר מכן, השתמשו בנוסחאות הבאות כדי לחשב שני סכומים, s2 (ריבוע הסטייה מהממוצע) ו-s4 (ריבוע הסטייה מהממוצע בריבוע). הערה-מספרים אלה אינם מייצגים סטיית תקן; הם מייצגים את השונות של כל נקודת נתונים.
s2=∑(yi−yˉ)2s4=∑(yi−yˉ)4where:yi=ith משתנה של ה-sampleyˉ=ממוצע של הדגימה\begin{aligned}&\text{s2} = \sum ( y_i – \bar{ y} ) ^ 2 \\&\text{s4} = \sum ( y_i – \bar{y} ) ^ 4 \\&\textbf{כאשר:} \\&y_i = \text{המשתנה של המדגם} \ \&\bar{y} = \text{ממוצע של המדגם} \\\end{aligned}s2=∑(yi−yˉ)2s4=∑(yi−yˉ)4where:yi=ith משתנה של המדגםˉ=ממוצע של המדגם
כדי לקבל s2, השתמש בכל משתנה, הפחת את הממוצע ולאחר מכן בריבוע את התוצאה. הוסף את כל התוצאות יחד:
(27−42)2=(−15)2=225(13−42)2=(−29)2=841(17−42)2=(−25)2=625(57−42)2=( 15)2=225(113−42)2=(71)2=5,041(25−42)2=(−17)2=289225+841+625+225+5,041+289=7,246\begin{aligned}& (27 – 42) ^ 2 = (-15) ^ 2 = 225 \\&(13 – 42) ^ 2 = (-29) ^ 2 = 841 \\&(17 – 42) ^ 2 = (-25) ^ 2 = 625 \\&(57 – 42) ^ 2 = (15) ^ 2 = 225 \\&(113 – 42) ^ 2 = (71) ^ 2 = 5,041 \\&(25 – 42) ^ 2 = (-17) ^ 2 = 289 \\&225 + 841 + 625 + 225 + 5,041 + 289 = 7,246 \\\end{aligned}(27−42)2=(−15)2=225(13−42 )2=(−29)2=841(17−42)2=(−25)2=625(57−42)2=(15)2=225(113−42)2=(71)2=5,041 (25−42)2=(−17)2=289225+841+625+225+5,041+289=7,246
כדי לקבל s4, השתמשו בכל משתנה, הפחיתו את הממוצע והעלו את התוצאה לחזקה רביעית. הוסף את כל התוצאות יחד:
(27−42)4=(−15)4=50,625(13−42)4=(−29)4=707,281(17−42)4=(−25)4=390,625(57−42)4=( 15)4=50,625(113−42)4=(71)4=25,411,681(25−42)4=(−17)4=83,52150,625+707,281+390,625+50,625+25,413,625+25,413,625+25,413,gin {aligned}&(27 – 42) ^ 4 = (-15) ^ 4 = 50,625 \\&(13 – 42) ^ 4 = (-29) ^ 4 = 707,281 \\&(17 – 42) ^ 4 = (-25) ^ 4 = 390,625 \\&(57 – 42) ^ 4 = (15) ^ 4 = 50,625 \\&(113 – 42) ^ 4 = (71) ^ 4 = 25,411,681 \\&(25 – 42) ^ 4 = (-17) ^ 4 = 83,521 \\&50,625 + 707,281 + 390,625 + 50,625 + 25,411,681 \\&+ 83,521 = 26,694,358 \−\end=4−\end 15)4=50,625(13−42)4=(−29)4=707,281(17−42)4=(−25)4=390,625(57−42)4=(15)4=50,625(113−42 )4=(71)4=25,411,681(25−42)4=(−17)4=83,52150,625+707,281+390,625+50,625+25,411,681+83,521=26,694,
אז הסכומים שלנו הם:
s2=7,246s4=26,694,358\begin{aligned}&\text{s2} = 7,246 \\&\text{s4} = 26,694,358 \\\end{aligned}s2=7,246s4=26,694,358
כעת, חשב את m2 ו-m4, הרגע השני והרביעי של נוסחת ה-kurtosis:
m2=s2n=7,2466=1,207.67\begin{aligned}\text{m2} &= \frac { \text{s2} }{ n } \\&= \frac { 7,246 }{ 6} \\& = 1,207.67 \\\end{aligned}m2=ns2=67,246=1,207.67
m4=s4n=26,694,3586=4,449,059.67\begin{aligned}\text{m4} &= \frac { \text{s4} }{ n } \\&= \frac { 26,694,358 }{ 6} \\& = 4,9.49, \\\end{aligned}m4=ns4=626,694,358=4,449,059.67
כעת אנו יכולים לחשב קורטוזיס באמצעות נוסחה שנמצאת בספרי לימוד סטטיסטיים רבים אשר מניחה התפלגות נורמלית מושלמת עם קורטוזיס של אפס:
k=m4m22−3where:k=Kurtosism4=Fourth momentm2=Second Moment\begin{aligned}&k = \frac { \text{m4} }{ \text{m2} ^ 2 } – 3 \\&\textbf{כאשר: } \\&k = \text{Kurtosis} \\&\text{m4} = \text{הרגע הרביעי} \\&\text{m2} = \text{הרגע השני} \\\end{aligned}k= m22m4−3where:k=Kurtosism4=רביעי מומנטm2=רגע שני
אז, הקורטוזיס עבור משתני המדגם הוא:
4,449,059.671,458,466.83−3=.05\begin{aligned}&\frac { 4,449,059.67 }{ 1,458,466.83 } – 3 = .05 \\\end{aligned}1,458,466.834,449,059.67−3=.05
סוגי קורטוזיס
ישנן שלוש קטגוריות של קורטוזיס שמערכת של נתונים יכולה להציג – mesokurtic, leptokurtic ו-platykurtic. כל המדדים של קורטוזיס מושווים מול עקומת התפלגות נורמלית.
Mesokurtic (Kurtosis = 3.0)
הקטגוריה הראשונה של התפלגות ismesokurtic kurtosis. לחלוקה זו יש קורטוזיס דומה לזו של ההתפלגות הנורמלית, כלומר הערך הקיצוני המאפיין את ההתפלגות דומה לזה של התפלגות נורמלית. לכן, מניה עם התפלגות מזוקורטית מתארת בדרך כלל רמת סיכון מתונה.
לפטוקורטיק (קורטוזיס > 3.0)
הקטגוריה השנייה isleptokurticdistribution. כל הפצה שהיא לפטוקורטית מציגה קורטוזיס גדול יותר מאשר התפלגות מזוקורטית. התפלגות זו מופיעה כעקומה עם זנבות ארוכים (חריגים). ה"רזה" של התפלגות לפטוקורטית היא תוצאה של החריגות, אשר מותחות את הציר האופקי של גרף ההיסטוגרמה, מה שגורם לחלק הארי של הנתונים להופיע בצורה צרה ( "רזה") טווח אנכי.
מניה עם התפלגות לפטוקורטית מתארת בדרך כלל רמת סיכון גבוהה אך אפשרות לתשואות גבוהות יותר מכיוון שהמניה הפגינה בדרך כלל תנועות מחירים גדולות.
Platykurtic (Kurtosis < 3.0)
הסוג הסופי של הפצה הוא platykurticdistribution. לסוגים אלה של התפלגויות יש זנבות קצרים (פחות חריגים). התפלגות Platykurtic הוכיחו יציבות רבה יותר מאשר עקומות אחרות, מכיוון שתנועות מחיר קיצוניות התרחשו רק לעתים רחוקות בעבר. זה מתורגם לרמת סיכון פחות מבינונית.
שימוש בקורטוזיס
Kurtosis משמש בניתוח פיננסי למדידת הסיכון של השקעה לתנודתיות מחירים. Kurtosis מודד את כמות התנודתיות שמחיר ההשקעה חווה באופן קבוע. קורטוזיס גבוהה של התפלגות התשואה מרמזת שהשקעה תניב מדי פעם תשואות קיצוניות. שים לב שזה יכול להתהפך לשני הכיוונים, כלומר קורטוזיס גבוה מצביע על תשואות חיוביות גדולות או תשואות שליליות קיצוניות.
לדוגמה, דמיינו למניה מחיר ממוצע של 25.85 דולר למניה. אם מחיר המניה היה מתנדנד באופן נרחב ולעתים קרובות מספיק, לעקומת הפעמון יהיו זנבות כבדים (קורטוזיס גבוה). משמעות הדבר היא שיש שונות רבה במחיר המניה – משקיע צריך לצפות תנודות מחירים נרחבות לעתים קרובות.
מצד שני, תיק בעל ערך קורטוזיס נמוך מעיד על פרופיל תשואה יציב וצפוי יותר, מה שעשוי להעיד על סיכון נמוך יותר. לאור זה, משקיעים עשויים לחפש בכוונה השקעות עם ערכי קורטוזיס נמוכים יותר בעת בניית תיקים בטוחים יותר ופחות תנודתיים.
ניתן להשתמש ב-Kurtosis גם ליישום אסטרטגי של גישת הקצאת השקעות. לדוגמה, מנהל תיקים המתמחה בהשקעות ערך עשוי להעדיף להשקיע בנכסים בעלי ערך קורטוזיס שלילי, שכן ערך קורטוזיס שלילי מצביע על התפלגות שטוחה יותר עם תשואות קטנות תכופות יותר. לעומת זאת, מנהל תיקים המתמחה בהשקעות מומנטום עשוי להעדיף להשקיע בנכסים בעלי ערך קורטוזיס חיובי עם התפלגות שיא של תשואות פחות תכופות אך גדולות יותר.
Kurtosis לעומת מדידות אחרות הנפוצות
סיכון קורטוזיס שונה מדידות נפוצות יותר. אלפא מודד תשואה עודפת ביחס למדד בנצ'מרק. בעוד שקורטוזיס מודד את אופי השיא או השטיחות של ההתפלגות, אלפא מודד את ההטיה או האסימטריה של ההתפלגות.
מודד את התנודתיות של מניה בהשוואה לשוק הרחב יותר. לכל נייר ערך או השקעה יש בטא יחידה שמציינת אם נייר הערך הזה תנודתי יותר או פחות בהשוואה למדד שוק. שוב, בטא מודד את מידת הא-סימטריה של ההתפלגות, בעוד ש-kurtosis מודד את השיא או השטיחות של ההתפלגות.
R-squared מודד את אחוז התנועה שיש לתיק או לקרן שניתן להסביר על ידי מדד. למרות ש-r-squared משמש בניתוח רגרסיה כדי להעריך את מידת ההתאמה של מודל רגרסיה, קורטוזיס משמש בסטטיסטיקה תיאורית כדי לתאר את צורת ההתפלגות.
לבסוף, יחס שארפ משווה תשואה לסיכון. יחס שארפ משמש את המשקיעים כדי להבין טוב יותר אם רמת התשואות שהם מקבלים תואמת את רמת הסיכון שנוצרה. בעוד ש-kurtosis מנתח את ההפצה של מערך נתונים, יחס Sharpe משמש בדרך כלל יותר להערכת ביצועי השקעה.
מדוע קורטוזיס חשוב?
קורטוזיס מסביר באיזו תדירות תצפיות בכמה מערכי נתונים נופלים בזנבות לעומת מרכז התפלגות הסתברות. בפיננסים ובהשקעות, עודף קורטוזיס מתפרש כסוג של סיכון המכונה "סיכון זנב", או הסיכוי להתרחשות הפסד עקב אירוע נדיר, כפי שנחזה על ידי התפלגות הסתברות. אם אירועים כאלה שכיחים יותר ממה שחזה התפלגות, אומרים שהזנבות הם "שמנים".
מה זה עודף קורטוזיס?
עודף קורטוזיס משווה את מקדם הקורטוזיס לזה של התפלגות נורמלית. רוב ההתפלגויות הנורמליות מניחות שיש להן קורטוזיס של שלוש, כך שעודף הקורטוזיס יהיה יותר או פחות משלוש; עם זאת, מודלים מסוימים מניחים שלתפלגות נורמלית יש קורטוזיס של אפס, כך שעודף קורטוזיס יהיה יותר או קטן מאפס.
האם קורטוזיס זהה לעקמת?
לא. Kurtosis מודד כמה מהנתונים בהתפלגות הסתברות מרוכזים סביב האמצע (הממוצע) לעומת הזנבות. שיפוע במקום זאת מודד את הסימטריה היחסית של התפלגות סביב הממוצע.
סיכום ומסקנות
קורטוזיס מתאר כמה התפלגות הסתברות נופלת בזנבות במקום במרכזו. בהתפלגות נורמלית, הקורטוזיס שווה לשלוש (או אפס בדגמים מסוימים). עודף קורטוזיס חיובי או שלילי ישנה את צורת ההתפלגות בהתאם. עבור משקיעים, קורטוזיס חשובה בהבנת סיכון הזנב, או באיזו תדירות מתרחשים אירועים "לא תכופים", בהינתן ההנחה של האדם לגבי התפלגות תשואות המחיר.
