מהי עקומת פעמון?
מהי עקומת פעמון? עקומת פעמון היא סוג נפוץ של התפלגות עבור משתנה, המכונה גם ההתפלגות הנורמלית. המונח "עקומת פעמון" מקורו בעובדה שהגרף המשמש להצגת התפלגות חריגה מורכב מעקומה סימטרית בצורת פעמון. הנקודה הגבוהה ביותר בעקומה, או החלק העליון של הפעמון, מייצגת את האירוע הסביר ביותר בסדרת נתונים (הממוצע, מצבו ואמצעי במקרה זה), בעוד שכל שאר ההתרחשויות האפשריות מפוזרות באופן סימטרי סביב הממוצע, ויוצרות תוצאה כלפי מטה. עקומה משופעת בכל צד של הפסגה. רוחב עקומת הפעמון מתואר על ידי סטיית התקן שלה.
מהי עקומת פעמון? – הנקודה הגבוהה ביותר בעקומה, או החלק העליון של הפעמון, מייצגת את האירוע הסביר ביותר בסדרת נתונים (הממוצע, מצבו ואמצעי במקרה זה), בעוד שכל שאר ההתרחשויות האפשריות מפוזרות באופן סימטרי סביב הממוצע, ויוצרות תוצאה כלפי מטה. עקומה משופעת בכל צד של הפסגה. רוחב עקומת הפעמון מתואר על ידי סטיית התקן שלה.
מהי עקומת פעמון? – נקודות מרכזיות
הבנת עקומת פעמון
המונח "עקומת פעמון" משמש לתיאור תיאור גרפי של התפלגות הסתברות נורמלית, שסטיות התקן הבסיסיות שלה מהממוצע יוצרות את צורת הפעמון המעוקלת. סטיית תקן היא מדידה המשמשת כדי לכמת את השונות של פיזור הנתונים, בקבוצה של ערכים נתונים סביב הממוצע. הממוצע, בתורו, מתייחס לממוצע של כל נקודות הנתונים במערך הנתונים או ברצף והוא יימצא בנקודה הגבוהה ביותר בעקומת הפעמון.
אנליסטים ומשקיעים פיננסיים משתמשים לעתים קרובות בהתפלגות הסתברות נורמלית בעת ניתוח התשואות של נייר ערך או של רגישות השוק הכוללת. בפיננסים, סטיות תקן המתארות את התשואות של נייר ערך ידועות כתנודתיות.
לדוגמה, מניות שמציגות עקומת פעמון הן בדרך כלל מניות כחולות וכאלה שיש להן תנודתיות נמוכה יותר ודפוסי התנהגות צפויים יותר. משקיעים משתמשים בהתפלגות ההסתברות הרגילה של תשואות העבר של מניה כדי להניח הנחות לגבי תשואות עתידיות צפויות.
בנוסף למורים המשתמשים בעקומת פעמון בעת השוואת ציוני המבחנים, עקומת הפעמון משמשת לרוב גם בעולם הסטטיסטיקה שבו ניתן ליישם אותה באופן נרחב. עקומות פעמון מועסקות לפעמים גם בניהול ביצועים, ומציבות עובדים שמבצעים את עבודתם בצורה ממוצעת בהתפלגות הנורמלית של הגרף. בעלי הביצועים הגבוהים והביצועים הנמוכים ביותר מיוצגים משני הצדדים עם שיפוע הירידה. זה יכול להיות שימושי לחברות גדולות יותר בעת ביצוע סקירות ביצועים או בעת קבלת החלטות ניהוליות.
דוגמה לעקומת פעמון
רוחב עקומת פעמון מוגדר על ידי סטיית התקן שלה, אשר מחושבת כרמת השונות של הנתונים במדגם סביב הממוצע. באמצעות הכלל האמפירי, למשל, אם נאספים 100 ציוני מבחנים ומשתמשים בהם בהתפלגות הסתברות נורמלית, 68% מציוני המבחנים הללו צריכים להיות בתוך סטיית תקן אחת מעל או מתחת לממוצע. הרחקת שתי סטיות תקן מהממוצע צריכה לכלול 95% מ-100 ציוני המבחנים שנאספו. התרחקות של שלוש סטיות תקן מהממוצע אמורה לייצג 99.7% מהציונים (ראה את האיור למעלה).
ציוני מבחן שהם חריגים קיצוניים, כגון ציון של 100 או 0, ייחשבו לנקודות נתונים עם זנב ארוך שכתוצאה מכך נמצאות מחוץ לטווח שלוש סטיות התקן.
עקומת פעמון לעומת התפלגויות לא נורמליות
עם זאת, הנחת התפלגות ההסתברות הרגילה לא תמיד מתקיימת בעולם הפיננסי. זה אפשרי עבור מניות וניירות ערך אחרים להציג לפעמים התפלגויות לא נורמליות שאינן מצליחות להידמות לעקומת פעמון.
להתפלגות לא נורמלית יש זנבות שמנים יותר מאשר התפלגות עקומת פעמון (הסתברות נורמלית). זנב שמן יותר מטה אותות שליליים למשקיעים שיש סבירות גדולה יותר לתשואות שליליות.
מגבלות של עקומת פעמון
דירוג או הערכת ביצועים באמצעות עקומת פעמון מאלץ קבוצות של אנשים להיות מסווגים כעניים, ממוצעים או טובים. עבור קבוצות קטנות יותר, הצורך לסווג מספר מוגדר של פרטים בכל קטגוריה כדי להתאים לעקומת פעמון יעשה רע ליחידים. כמו לפעמים, כולם עשויים להיות רק עובדים או סטודנטים ממוצעים או אפילו טובים, אבל בהתחשב בצורך להתאים את הדירוג או הציונים שלהם לעקומת פעמון, חלק מהאנשים נאלצים להיכנס לקבוצה העניה. במציאות, הנתונים אינם נורמליים לחלוטין. לפעמים יש עיוות, או חוסר סימטריה, בין מה שנופל מעל ומתחת לממוצע. פעמים אחרות יש זנבות שומן (עודף קורטוזיס), מה שהופך את אירועי הזנב לסבירים יותר ממה שהחלוקה הנורמלית תחזה.
מהם המאפיינים של עקומת פעמון?
עקומת פעמון היא עקומה סימטרית המרוכזת סביב הממוצע, או הממוצע, של כל נקודות הנתונים הנמדדות. רוחב עקומת פעמון נקבע על פי סטיית התקן – 68% מנקודות הנתונים נמצאות בתוך סטיית תקן אחת מהממוצע, 95% מהנתונים נמצאים בתוך שתי סטיות תקן ו-99.7% מנקודות הנתונים נמצאות בתוך שלוש תקן סטיות של הממוצע.
כיצד משתמשים בעקומת הפעמון בפיננסים?
אנליסטים ישתמשו לעתים קרובות בעקומות פעמון והתפלגויות סטטיסטיות אחרות בעת מודלים של תוצאות פוטנציאליות שונות הרלוונטיות להשקעה. בהתאם לניתוח המתבצע, אלה עשויים להיות מורכבים ממחירי מניות עתידיים, שיעורי צמיחת רווחים עתידיים, שיעורי ברירת מחדל פוטנציאליים או תופעות חשובות אחרות. לפני השימוש בעקומת הפעמון בניתוח שלהם, על המשקיעים לשקול היטב האם התוצאות הנבדקות אכן מתפלגות באופן נורמלי. אם לא תעשה זאת, עלולה לערער באופן רציני את הדיוק של המודל המתקבל.
מהן המגבלות של עקומת הפעמון?
למרות שעקומת הפעמון היא מושג סטטיסטי שימושי מאוד, ניתן להגביל את היישומים שלה בפיננסים מכיוון שתופעות פיננסיות – כמו תשואות צפויות בבורסה – אינן נופלות בצורה מסודרת בתוך התפלגות נורמלית. לכן, הסתמכות רבה מדי על עקומת פעמון בעת ביצוע תחזיות לגבי אירועים אלה עלולה להוביל לתוצאות לא אמינות. למרות שרוב האנליטיקאים מודעים היטב למגבלה זו, קשה יחסית להתגבר על חסרון זה מכיוון שלעתים קרובות לא ברור באיזו התפלגות סטטיסטית להשתמש כחלופה.
